O recomendado é que você faça esse procedimento com cautela e calma, pois mover arquivos entre diretórios não têm costume nenhum de dar problemas, mas um descuido de mover arquivos para um diretório incorreto ou mesmo remoção de forma equivocada pode gerar uma dor de cabeça imensa, para uma simples troca de domínio estacionado.
Não é possível simplesmente chegar e alterar o nome do domínio atual para outro, por isso o que pode ser realizado é uma operação simples, de criar um novo domínio estacionado e mover os arquivos do antigo domínio para o novo.
Exemplo
O meu atual domínio se chama antigo.com.br e desejo alterá-lo para novo.com.br
No cPanel vou estacionar o domínio novo.com.br efetuando as etapas abaixo.
- Acesse sua conta no cPanel
- Localize a opção Domínios
- No campo Domínio adicionar o domínio que deseja estacionar.

- Se você apenas deseja estacionar esse domínio como um segundo domínio, mas que terá outros arquivos, desmarque a opção Document Root (File System Location) e preencha com um novo diretório;

- Pronto! Agora é só mover os arquivos do diretório do domínio antigo.com.br para o diretório novo.com.br
Após a alteração, pode ser necessário corrigir às URLs do site, e você pode ver como fazer isso clicando aqui.